ggT- und kgV-Rechner

Geben Sie zwei oder mehr ganze Zahlen ein und erhalten Sie sofort den größten gemeinsamen Teiler (ggT) sowie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), mit den Schritten des euklidischen Algorithmus, damit Sie genau sehen, wie das Ergebnis zustande kommt. Nützlich zum Kürzen von Brüchen, zum gleichmäßigen Aufteilen oder zum Abgleichen von Terminen mit unterschiedlichen Wiederholungszyklen.

Was ist dieses Tool?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) einer Zahlenmenge ist die größte Zahl, die alle ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen restlos teilbar ist. Dieses Tool berechnet beide mit dem euklidischen Algorithmus: Die größere Zahl wird wiederholt durch den Rest ihrer Division durch die kleinere ersetzt, bis der Rest null erreicht — der letzte Rest ungleich null ist der ggT.

Ist der ggT bekannt, ergibt sich das kgV direkt aus kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b), bei drei oder mehr Zahlen paarweise angewendet. Beide Werte sind grundlegend beim Kürzen von Brüchen, beim Rechnen mit Verhältnissen und beim Lösen von Terminproblemen, bei denen Ereignisse in unterschiedlichen Zyklen wiederkehren.

Warum sollte man es nutzen?

Berechnet ggT und kgV für zwei oder mehr ganze Zahlen in einem Schritt.
Zeigt den Rechenweg des euklidischen Algorithmus, nicht nur das Endergebnis.
Funktioniert mit beliebig vielen Eingaben, nicht nur mit Paaren.
Sofortiges Ergebnis während der Eingabe — kein Neuladen der Seite nötig.
Kostenlos und privat — die gesamte Berechnung läuft in Ihrem Browser.

Anleitung

Geben Sie zwei oder mehr ganze Zahlen ein, durch Kommas getrennt oder in getrennten Feldern.
Der Rechner wendet automatisch den euklidischen Algorithmus an.
Lesen Sie die Ergebnisse für ggT und kgV ab.
Klappen Sie die Schritte auf, um zu sehen, wie jede Division und jeder Rest zum Ergebnis geführt hat.

Beispiel

Eingabe

48 und 18

Ausgabe

ggT = 6, kgV = 144

Euklidischer Algorithmus: 48 = 2×18 + 12, 18 = 1×12 + 6, 12 = 2×6 + 0 — der letzte Rest ungleich null, 6, ist der ggT. kgV = (48×18)/6 = 144.

ggT und kgV im Vergleich

	ggT	kgV
Vollständiger Name	Größter Gemeinsamer Teiler	Kleinstes Gemeinsames Vielfaches
Was gesucht wird	Größter gemeinsamer Faktor	Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Ergebnis vs. Eingaben	Immer ≤ der kleinsten Eingabe	Immer ≥ der größten Eingabe
Typische Anwendung	Brüche kürzen	Gemeinsame Nenner, wiederkehrende Termine

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen ggT und kgV?

Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) ist die größte Zahl, die zwei oder mehr Zahlen exakt teilt. Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste Zahl, in die diese Zahlen alle exakt hineinpassen. Der ggT wird zu einem gemeinsamen Faktor hin kleiner; das kgV wird zu einem gemeinsamen Vielfachen hin größer.

Wie berechnet man den ggT von Hand mit dem euklidischen Algorithmus?

Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere und notieren Sie den Rest. Ersetzen Sie die größere Zahl durch die kleinere und die kleinere durch den Rest. Wiederholen Sie dies, bis der Rest null ist — der letzte Rest ungleich null ist der ggT. Beispiel für 48 und 18: 48 ÷ 18 lässt Rest 12; 18 ÷ 12 lässt Rest 6; 12 ÷ 6 lässt Rest 0, also ist der ggT 6.

Wie berechnet man das kgV aus dem ggT?

Für zwei Zahlen gilt kgV(a, b) = (a × b) ÷ ggT(a, b). Für 48 und 18 ergibt das (48 × 18) ÷ 6 = 144. Bei drei oder mehr Zahlen wenden Sie dieselbe Formel paarweise an: Berechnen Sie zuerst das kgV der ersten beiden, dann das kgV dieses Ergebnisses mit der nächsten Zahl, und so weiter.

Wo begegnet man ggT/kgV im Alltag?

Der ggT kürzt Brüche auf ihre einfachste Form (Zähler und Nenner werden durch ihren ggT geteilt) und hilft, Gegenstände in möglichst große gleiche Gruppen aufzuteilen. Das kgV wird gebraucht, um sich wiederholende Zyklen abzugleichen — etwa um herauszufinden, wann zwei Ereignisse mit unterschiedlichem Wiederholungsabstand wieder auf denselben Tag fallen, oder um beim Addieren von Brüchen einen gemeinsamen Nenner zu finden.

Kann dieser Rechner mehr als zwei Zahlen verarbeiten?

Ja. Geben Sie so viele ganze Zahlen ein, wie Sie benötigen; das Tool findet den gemeinsamen ggT und das gemeinsame kgV, indem es den paarweisen Algorithmus nacheinander anwendet.

Werden meine Daten irgendwo gespeichert?

Nein. Die Berechnung erfolgt vollständig in Ihrem Browser mit JavaScript; nichts von dem, was Sie eingeben, wird an einen Server gesendet, gespeichert oder protokolliert.